Mais elle n’est pas absolument convergente. We can simplify f1 to be: Since the Cauchy integral theorem says that: The integral around the original contour C then is the sum of these two integrals: An elementary trick using partial fraction decomposition: The integral formula has broad applications. When that condition is met, the second term in the right-hand integral vanishes, leaving only, where in is that algebra's unit n-vector, the pseudoscalar. ∘ ∉ 6 La formule est la formule général d'un produit de Cauchy. Notre objectif est de demontrer la formule de Cauchy sous l’hypoth´ ese la` plus g´enerale possible, que la courbe soit de longueur finie. {\displaystyle f(i)\notin g([m])} = 6 [ , {\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&1\\3&1\\0&2\end{pmatrix}}} m 2 We can use a combination of a Möbius transformation and the Stieltjes inversion formula to construct the holomorphic function from the real part on the boundary. σ } 1 ) ) ) 3 The theorem stated above can be generalized. + ( For m = 1, the summation ranges over the collection m La formule de Cauchy sur la longueur d'une courbe.  Au sommaire de cette page : Cas préhilbertien : inégalité de Cauchy … Formule de Cauchy : forum de maths - Forum de mathématiques. f {\displaystyle \left\{g_{j}(x)\right\}_{j=0}^{N-1}} { 25 Formules de Cauchy (pour un disque) 117 26 Formule de la moyenne et Principe du maximum 119 27 Théorème de Liouville 121 28 Séries de Laurent et Résidus 123 29 Invariance par homotopie 126 30 Indices de lacets, variation de l’argument 131 31 Le théorème des résidus avec indices 134 32 Le théorème des résidus en version classique 136 Formule de Cauchy - Indice - Compacts a` bord C1 M. Triestino, L. Lazrag Exercice 1. i , Dans cette vidéo nous allons démontrer l’inégalité suivante, appelée inégalité de Cauchy-Schwarz. , the left hand side will give the sum of the principal minors of {\displaystyle f=h\circ \pi ^{-1}} En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz, ou encore inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, se rencontre dans de nombreux domaines tels que l'algèbre linéaire avec les vecteurs, l'analyse avec les séries et en intégration avec les intégrales de produits. × The formula is valid for matrices with the entries from any commutative ring. ) Since f (z) is continuous, we can choose a circle small enough on which f (z) is arbitrarily close to f (a). For the integral around C1, define f1 as f1(z) = (z − z1)g(z). denotes the principal value. m There are various kinds of proofs that can be given for the Cauchy−Binet formula. ] m ] j D'après ce théorème, si deux chemins différents relient les deux mêmes points et si une fonction est holomorphe " entre " les deux chemins, alors les deux intégrales de cette fonction suivant ces chemins sont égales. Soient A = (aℓ,k)1≤ℓ≤m 1≤k≤n une matrice de type m ×n, B = (bk,j)1≤k≤n 1≤j≤m S It is this useful property that can be used, in conjunction with the generalized Stokes theorem: where, for an n-dimensional vector space, d S→ is an (n − 1)-vector and d V→ is an n-vector. / N Intégrales curvilignes, Formule de Cauchy Exercice 1. The above statement then states that the square of the length of a vector is the sum of the squares of its coordinates; this is indeed the case by the definition of that length, which is based on the Pythagorean theorem. Si la fonction f est à valeurs réelles et qu'elle est dérivable sur I jusqu'à l'ordre n + 1 alors, pour tout ∈ ∖ {} {\displaystyle {\tbinom {[n]}{1}}} Cauchy, A.-L. (1821), "Sur les formules qui résultent de l'emploie du signe et sur > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités", Cours d'Analyse, 1er … − Inégalité de Cauchy-Schwarz : démonstration et exercices. 0 On y associe la formule de Shannon à un article de Cauchy intitulé Mémoire sur diverses formules d'analyse paru en 1841 dans les Comptes rendus de … 2 b ( ( In mathematics, Cauchy's integral formula, named after Augustin-Louis Cauchy, is a central statement in complex analysis. m , {\displaystyle {\tbinom {n}{m}}} is the permutation matrix for π, A L Démonstration: Pour tout il suffit d'appliquer la formule de Cauchy en prnant comme chemin le cercle de centre et de rayon assez petit pour que et de répéter la démonstration du Corollaire 1. ... Cercle trigonométrique et formules de trigo; By using the Cauchy integral theorem, one can show that the integral over C (or the closed rectifiable curve) is equal to the same integral taken over an arbitrarily small circle around a. θ o (rad)= angle au sommet du prisme. L 'cauchy est une relation empirique entre 'indice de réfraction et longueur d'ondes de la lumière pour un matériau transparent particulier. Formule de Binet-Cauchy Soient m et n deux entiers positifs tels que m ≤ n.Posons E = J1,nK. ( [1 Université Paul Sabatier II sémestre 2012-2013 L2 Spécial, Analyse Complexe TD 3. ) = ( B Using the Möbius transformation and the Stieltjes formula we construct the function inside the circle. Encore une fois, ce qui différencie "pour tout de , de Cauchy" et "(uniformément de Cauchy sur " est la place de "pour tout de " qui intervient avant le choix de dans le premier cas et après le choix de dans le second cas. Cette formule est très importante en analyse complexe. ∘ n j Alors Pm est en bijection avec Pm(E). Concretely, the multiple summations can be grouped into two summations, one over all functions f:[m] → [n] that for each row index of A gives a corresponding column index, and one over all functions g:[m] → [n] that for each column index of B gives a corresponding row index. S {\displaystyle \det(zI_{m}+AB)} m Encore très utilisée, de pair avec l' équation de Sellmeier dont elle est une simplification, la loi de Cauchy modélise d'une manière très précise l'indice de réfraction des matériaux dans le domaine du spectre visible. Formule de Cauchy-Crofton pour la densit des ensembles sous-analytiques George COMTE CMI, UniversitC de Provence, 39, rue Joliot-Curie, 13453 Marseille cedex 13, France Courriel : comte@gyptis.univ-mrs.fr (Rr~u le S octohre 1998, accept6 apt& &vision le 11 janvier 1999) while the right hand side will give the constant term of θ 1 (rad)= (θ d.mini + θ o) / 2 et θ d (rad)= angle de déviation entre rayons incident et émergent (et θ … Proposition (Conditions de Cauchy r eelles) La fonction f := P + iQ 2C1(;C) est holomorphe si et seulement si @P @x = @Q @y et @P @y = @Q @x: Exemple : Soit f une fonction de classe C1 d e nie sur un ouvert connexe, alors f et f sont des fonctions holomorphes si et seulement si f est constante. a Formules de Cauchy, analyticit e des fonctions holomorphes 6.1 Th eor eme de Goursat Exercice 6.1.1 Soit un ouvert etoil e et f une fonction holomorphe sur . First, it implies that a function which is holomorphic in an open set is in fact infinitely differentiable there. ( {\displaystyle BA} Pm(E) désigne l’ensemble des parties à m éléments de E.Nous noterons Pm l’ensemble des suites strictement croissantes de m éléments de J1,nK. det n De même B S est la matrice de format m obtenue en ne retenant que les lignes de B dont l'indice appartient à S. Dans le cas particulier où m = n, les matrices A et B sont carrées, il y a un seul terme dans la formule de Binet-Cauchy, qui redonne bien la propriété de multiplicativité des déterminants. ( ( c j {\displaystyle \pi \circ \sigma } n ∏ In particular f is actually infinitely differentiable, with. A {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\3&1&-1\\\end{pmatrix}}} → La première : n = c/v = λf/v, car λ = c/f. f ) m ( ( The proof of Cauchy's integral theorem for higher dimensional spaces relies on the using the generalized Stokes theorem on the quantity G(r→, r→′) f (r→′) and use of the product rule: When ∇ f→ = 0, f (r→) is called a monogenic function, the generalization of holomorphic functions to higher-dimensional spaces — indeed, it can be shown that the Cauchy–Riemann condition is just the two-dimensional expression of the monogenic condition. Université Paul Sabatier II sémestre 2012-2013 L2 Spécial, Analyse Complexe TD 3. No such results, however, are valid for more general classes of differentiable or real analytic functions. , Let D be the polydisc given as the Cartesian product of n open discs D1, ..., Dn: Suppose that f is a holomorphic function in D continuous on the closure of D. Then. Supposing now that both f and g are injective maps [m] → [n], the factor { C'est à partir de cette formule que l'on déduit la formule de Cauchy [3]. − 0 Suppose that A is an m × n matrix, B is an n × p matrix, I is a subset of {1,...,m} with k elements and J is a subset of {1,...,p} with k elements. Encore très utilisée, de pair avec l'équation de Sellmeier dont elle est une simplification, la loi de Cauchy modélise d'une manière très précise l'indice de réfraction des matériaux dans le domaine du spectre visible [4]. = Il vient donc ceci : On note que Nous voulons un expos´ e´ simple et complet. {\displaystyle (R_{g})_{S,[m]}} ] ] 3 m Un logarithme sur est une fonction continue f : !C verifiant´ exp f = id. { Sommaire. Now, each of these smaller integrals can be solved by the Cauchy integral formula, but they first must be rewritten to apply the theorem. {\displaystyle S\in {\tbinom {[n]}{m}}} n j ( The analog of the Cauchy integral formula in real analysis is the Poisson integral formula for harmonic functions; many of the results for holomorphic functions carry over to this setting. Sélectionnez la méthode ou la formule de votre choix. ) [4] The generalized Cauchy integral formula can be deduced for any bounded open region X with C1 boundary ∂X from this result and the formula for the distributional derivative of the characteristic function χX of X: where the distribution on the right hand side denotes contour integration along ∂X.[5]. Le mathématicien allemand Franz Mertens a prouvé une propriété de convergence plus forte : si une des deux séries converge et l'autre converge absolument, alors leur produit de Cauchy converge et la formule de distributivité généralisée a bien lieu ; cette propriété … N − It is known from Morera's theorem that the uniform limit of holomorphic functions is holomorphic. = Montrer qu’il n’existe pas de fonction logarithme continue sur le cercle unite.´ 2. ,  Au sommaire de cette page : Cas préhilbertien : inégalité de Cauchy-Schwarz, cas d'égalité et … ) . {\displaystyle 1/(z-a)} [ A. L. Cauchy apparaît dans beaucoup de bibliographies concernant l'échantillonnage périodique des fonctions ou des processu s à spectre borné. ) L'inégalité s'énonce de la façon suivante : × ( The formula is also used to prove the residue theorem, which is a result for meromorphic functions, and a related result, the argument principle. The formula is valid for matrices with the entries from any commutative ring. ( Sommaire. Fonction de distribution cumulative. ( The matrices associated to f and g are, where " Il suffit en effet d'utiliser les propriété de commutativité et d'associativité des familles sommables. Inégalité de Cauchy-Schwarz : démonstration et exercices. Elle exprime le fait que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est complètement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur un chemin fermé contenant ce point. Fonctions holomorphes et formule de Cauchy. This can also be deduced from Cauchy's integral formula: indeed the formula also holds in the limit and the integrand, and hence the integral, can be expanded as a power series. In mathematics, specifically linear algebra, the Cauchy–Binet formula, named after Augustin-Louis Cauchy and Jacques Philippe Marie Binet, is an identity for the determinant of the product of two rectangular matrices of transpose shapes (so that the product is well-defined and square). La formule intégrale de Cauchy, due au mathématicien Augustin Louis Cauchy, est un point essentiel de l'analyse complexe.Elle exprime le fait que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est complètement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur un chemin fermé contenant (c'est-à-dire entourant) ce point. points de S où le plan tangent est en même temps tangent à un cône-lumière. On the other hand, the integral. ( 1. , In several complex variables, the Cauchy integral formula can be generalized to polydiscs (Hörmander 1966, Theorem 2.2.1). B ) n they can be expanded as convergent power series. Pour toute courbe rectifiable du plan, nous démontrons la formule de Cauchy relative à sa longueur. The Cauchy integral formula is generalizable to real vector spaces of two or more dimensions. Bonjour, J'ai deux petites questions sur l'optique géométrique... Je vais exprimer l'indice n de deux façons. Only their multilinearity with respect to rows and columns, and their alternating property (vanishing in the presence of equal rows or columns) are used; in particular the multiplicative property of determinants for square matrices is not used, but is rather established (the case n = m). [ , and its determinant is For this step 2, if f fails to be injective then Lf and LfRg both have two identical rows, and if g fails to be injective then Rg and LfRg both have two identical columns; in either case both sides of the identity are zero. , Si vous n'avez pas trouvé votre PDF, vous pouvez affiner votre demande. Furthermore, it is an analytic function, meaning that it can be represented as a power series. Formule de Taylor-Cauchy. B Elle fait partie des inégalités qu'un élève en classe prépa MPSI ou PCSI ne doit pas oublier. n ( C'est à partir de cette formule que l'on déduit la formule de Cauchy [3]. For example, the function f (z) = i − iz has real part Re f (z) = Im z. S n ) [ Dire que, pour tout de , est de Cauchy, s'écrit :. A and [ B Démonstration. The result is. The second conclusion asserts that the Cauchy kernel is a fundamental solution of the Cauchy–Riemann equations. h [K / l 3] / cosθ 1. avec n' (1/m-1-rad-1)= dispersion angulaire du prisme. R Par conséquent, il va falloir adapter la formule de Cauchy comme suit : pour tout n > 0. det f It expresses the fact that a holomorphic function defined on a disk is completely determined by its values on the boundary of the disk, and it provides integral formulas for all derivatives of a holomorphic function. [2] It is stated as follows: let Elle reflète de façon assez fidèle la rigidité du comportement d'une fonction holomorphe. m det B ) f Démonstration. B R z d It generalizes the statement that the determinant of a product of square matrices is equal to the product of their determinants. To find the integral of g(z) around the contour C, we need to know the singularities of g(z). 2 For the latter this is immediate from the multilinear property of the determinant; for the former one must in addition check that taking a linear combination for the row of A or column of B while leaving the rest unchanged only affects the corresponding row or column of the product AB, and by the same linear combination. − Soit 0 < r < R, On considère la fonction g: R → C La formule ci-dessus qui contient une intégrale spatiale, une simple couche et une … {\displaystyle \det(AB)} Moreover, as for the Cauchy integral theorem, it is sufficient to require that f be holomorphic in the open region enclosed by the path and continuous on its closure. in the equation This integral can be split into two smaller integrals by Cauchy–Goursat theorem; that is, we can express the integral around the contour as the sum of the integral around z1 and z2 where the contour is a small circle around each pole. Encore très utilisée, de pair avec l'équation de Sellmeier dont elle est une simplification, la loi de Cauchy modélise d'une manière très précise l'indice de réfraction des matériaux dans le domaine du spectre visible [4]. and let C be the contour described by |z| = 2 (the circle of radius 2). La formule de Cauchy-Crofton. For example, a vector field (k = 1) generally has in its derivative a scalar part, the divergence (k = 0), and a bivector part, the curl (k = 2). Call these contours C1 around z1 and C2 around z2. la formule intégrale de Cauchy en mathématiques, la Formule intégrale de Cauchy Il est un outil clé 'analyse complexe. ). {\displaystyle (L_{f})_{[m],S}} The function f (r→) can, in principle, be composed of any combination of multivectors. théorème fondamental de Cauchy susmentionné. (Ce sont des “formes” (lin´eaires) car elles sont a` valeurs dans R, et elles agissent sur les vecteurs tangents, ici h). {\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{n}A_{1,j}B_{j,1}} 1 on the right is zero unless S = f([m]), while the factor . The insight into this property comes from geometric algebra, where objects beyond scalars and vectors (such as planar bivectors and volumetric trivectors) are considered, and a proper generalization of Stokes' theorem. A z π {\displaystyle {\tbinom {n}{m}}} A continuous version of the Cauchy-Binet formula, known as the Andréief-Heine identity or Andréief identity appears commonly in random matrix theory. Forrester[3]descibes how to recover the usual Cauchy-Binet formula as a discretisation of the above identity. Si de plus, f est continue en z0, alors an =0 pour n<0. ) 2 Montrer que, pour tout n> 2, il existe une d etermination holomorphe sur de la racine n i eme de f. Exercice 6.1.2 Soit U= Cnfiy: y2R;jyj> 1g. formule de Cauchy : soit f holomorphe dans un domaine U simplement connexe et γ un circuit de trajectoire Γ incluse dans U. Alors, pour tout z ∈ O γ = C ∖ Γ, on a : j ( a, γ) ⋅ f ( z) = 1 2 i π ∫ γ f ( s) s − z d z. Exercice : soit a ∈ D ( 0, 1). ( Cauchy's formula shows that, in complex analysis, "differentiation is equivalent to integration": complex differentiation, like integration, behaves well under uniform limits– a result that … ( ) [ g ∘ Cauchy (1789-1857) 1830 : fuit la France avec Charles X en exil Retour en 1838: à l’Académie mais pas à l’Ecole Polytechnique car refuse de prêter serment . m Définitions de Cauchy, synonymes, antonymes, dérivés de Cauchy, dictionnaire analogique de Cauchy (français) 1 ( 7 B Let D be a disc in C and suppose that f is a complex-valued C1 function on the closure of D. Then[3] (Hörmander 1966, Theorem 1.2.1). 1 Le théorème concerne la valeur d'un fonction holomorphe en un point avec un ligne intégrale le long d'une courbe fermée simple. Nous décrivons ici les propriétés des fonctions holomorphes qui sont des conséquences directes de la formule de Cauchy pour les disques. , write A[m],S for the m×m matrix whose columns are the columns of A at indices from S, and BS,[m] for the m×m matrix whose rows are the rows of B at indices from S. The Cauchy–Binet formula then states, Example: Taking m = 2 and n = 3, and matrices = if the images of f and g are different, the right hand side has only null terms, and the left hand side is zero as well since LfRg has a null row (for i with 1 ∑ In addition the Cauchy formulas for the higher order derivatives show that all these derivatives also converge uniformly. 4 As we have seen, the Cauchy–Binet formula is equivalent to the following: In terms of generalized Kronecker delta, we can derive the formula equivalent to the Cauchy–Binet formula: If A is a real m×n matrix, then det(A AT) is equal to the square of the m-dimensional volume of the parallelotope spanned in Rn by the m rows of A. Binet's formula states that this is equal to the sum of the squares of the volumes that arise if the parallelepiped is orthogonally projected onto the m-dimensional coordinate planes (of which there are k D'ailleurs ce cas sera exclu plus loin quand il s'agira de l'application de la formule au problème de Cauchy.) {\displaystyle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}},{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {z}},{\boldsymbol {w}}} points de S où le plan tangent est en même temps tangent à un cône-lumière. The resulting multiple summations are huge, but they have the same form for both sides: corresponding terms involve the same scalar factor (each is a product of entries of A and of B), and these terms only differ by involving two different expressions in terms of constant matrices of the kind described above, which expressions should be equal according to the Cauchy−Binet formula. → La seconde : en appliquant la loi de Cauchy, on a n(λ) = A + B/λ², avec A et B caractéristiques du milieu. = La fonction de distribution cumulative de la distribution de Cauchy est: F ( X ; X 0 , γ ) = 1 π arctan ⁡ ( X - X 0 γ ) + 1 2 {\ displaystyle F (x; x_ {0}, \ gamma) = {\ frac {1} {\ pi}} \ arctan \ left ( {\ frac {x-x_ {0}} {\ gamma}} \ right ) + {\ frac {1} {2}}} Preuve : Par translation, on se ramène à z0 = 0. ) Montrer que le produit de Cauchy de cette série par elle-même conduit à … For m = 0, A and B are empty matrices (but of different shapes if n > 0), as is their product AB; the summation involves a single term S = Ø, and the formula states 1 = 1, with both sides given by the determinant of the 0×0 matrix. n Sa version prototypique énonce que si une fonc-tion f2O() est holomorphe dans un ouvert ˆC, alors pour tout disque fermé ˆ, La formule de Cauchy exprime la dispersion angulaire d'un prisme : n' = - [4.sin(θ o / 2)]. Then. ) , D'ailleurs ce cas sera exclu plus loin quand il s'agira de l'application de la formule au problème de Cauchy.) publicité is zero unless S = g([m]). g Le postulat de Cauchy Le lemme d’imparit´e Le th´eor`eme de Cauchy 3 Equations locales de la dynamique Premi`ere loi de Cauchy du mouvement Seconde loi de Cauchy du mouvement 4 Equations aux discontinuit´es 5 Bilan : ´equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus 6 Etats de contraintes remarquables ) Exercice 2. ] Moreover, if in an open set D, for some φ ∈ Ck(D) (where k ≥ 1), then f (ζ, ζ) is also in Ck(D) and satisfies the equation, The first conclusion is, succinctly, that the convolution μ ∗ k(z) of a compactly supported measure with the Cauchy kernel, is a holomorphic function off the support of μ. Encore une fois, ce qui différencie "pour tout de , de Cauchy" et "(uniformément de Cauchy sur " est la place de "pour tout de " qui intervient avant le choix de dans le premier cas et après le choix de dans le second cas. m k Autour du Logarithme complexe. On r´ecrit alors (7.2) sous la forme dfa= Xn i=1 It remains to prove the Cauchy−Binet formula for A = Lf and B = Rg, for all f,g:[m] → [n]. [ Le théorème suivant montre que, si est une fonction holomorphe, toutes les dérivées de en un point sont contrôlées par les valeurs de au voisinage de … {\displaystyle \det(zI_{n}+BA)=z^{n-m}\det(zI_{m}+AB)} be two sequences of integrable functions, supported on Pour tout , pour tout , il existe tel que et . − Provides integral formulas for all derivatives of a holomorphic function, "Sur la continuité des fonctions de variables complexes", http://people.math.carleton.ca/~ckfong/S32.pdf, https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cauchy%27s_integral_formula&oldid=988349766, Creative Commons Attribution-ShareAlike License, This page was last edited on 12 November 2020, at 16:57. On y associe la formule de Shannon à un article de Cauchy intitulé Mémoire sur diverses formules d'analyse paru en 1841 dans les Comptes rendus de … On remarque dans la première formule que plus λ augmente, plus n augmente. ] This is analytic (since the contour does not contain the other singularity). A ). ( Here p.v. det ) C'est une variante de la formule de Taylor-Lagrange [9], [10]. The moduli of these points are less than 2 and thus lie inside the contour. m δ {\displaystyle I} Then. Let S ; then One may use this representation formula to solve the inhomogeneous Cauchy–Riemann equations in D. Indeed, if φ is a function in D, then a particular solution f of the equation is a holomorphic function outside the support of μ. The following simple proof presented in [1] relies on two facts that can be proven in several different ways: Now, if we compare the coefficient of + be three-dimensional vectors. , the dot product of the pair of vectors represented by the matrices. Pour un nombre p compris dans l'intervalle fermé [0,1], la fonction de répartition inverse (CDF inverse) d'une variable aléatoire X détermine, lorsque c'est possible, une valeur de x pour laquelle la probabilité que X ≤ x est supérieure ou égale à p. Context for the formula is given in the article on minors, but the idea is that both the formula for ordinary matrix multiplication and the Cauchy-Binet formula for the determinant of the product of two matrices are special cases of the following general statement about the minors of a product of two matrices. − For instance, if we put the function f (z) = 1/z, defined for |z| = 1, into the Cauchy integral formula, we get zero for all points inside the circle. The i/z term makes no contribution, and we find the function −iz. A La formule intégrale de Cauchy, due au mathématicien Augustin Louis Cauchy, est un point essentiel de l'analyse complexe. {\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4&6\\6&2\end{pmatrix}}} ) Dans cette vidéo nous allons démontrer l’inégalité suivante, appelée inégalité de Cauchy-Schwarz. Remarque. Alors π×i / 8n est une approximation de la longueur de … f Considérons les familles de droites d’équation x = k/n et y = k/n, et celles obtenues par rotation des droites x = k/n de ±π/4 autour de l’origine O. Soit i le nombre de points d’intersection d’une courbe C avec toutes ces droites.

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